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🗺️ En esta sesión: Ahora al revés: si ahorras una cantidad cada año, ¿cuánto tendrás al final? Llevarás cada aportación hasta la fecha final y las sumarás. Practicaremos por parejas con aportaciones a un fondo y cobros por derechos de autor.
El valor final es lo que valen todos los términos llevados al momento del último término (momento n). Se usa cuando se ahorra periódicamente: aportaciones a un fondo, a un plan de pensiones.
📌 Valor final a mano
Capitaliza cada término hasta el momento n y suma: Cn = X·(1+i)^(n−1) + X·(1+i)^(n−2) + … + X.
El último término no genera intereses: se hace justo en el momento final.
Ejemplo resuelto: 2.000 € al año durante 3 años al 5 %
| Aportación del año | Operación | Valor en el año 3 (€) |
|---|---|---|
| 1 | 2.000 · 1,05^2 | 2.205,00 |
| 2 | 2.000 · 1,05^1 | 2.100,00 |
| 3 | 2.000 | 2.000,00 |
| Total | Suma | 6.305,00 |
El valor final (6.305 €) supera los 6.000 € aportados: la diferencia son los intereses.
📌 Relación entre los dos valores
Valor final = valor actual · (1 + i)^n. Comprueba: 5.446,50 · 1,05^3 = 6.305,00 €.
🎯 Objetivo: Calcular el valor actual y el valor final de una renta descontando o capitalizando cada término.
📌 Idea clave
Una renta es una serie de cobros o pagos iguales y periódicos. Cada uno se llama término (X).
Valor actual: llevar todos los términos al momento 0 y sumarlos. Valor final: llevarlos al momento n y sumarlos.
1. Ana alquila una plaza de garaje y cobrará 1.500 € al final de cada uno de los próximos 3 años. Con un 4 %, calcula el valor actual a mano.
| Año | Cobro (€) | Operación | Valor en el momento 0 (€) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.500,00 | ||
| 2 | 1.500,00 | ||
| 3 | 1.500,00 | ||
| Total valor actual | 4.500,00 |
2. ¿Por qué el valor actual es menor que 4.500 €?
3. Iván aporta 1.200 € al final de cada año durante 4 años a un fondo al 3 %. Calcula el valor final a mano.
| Año de la aportación | Aportación (€) | Operación | Valor en el año 4 (€) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.200,00 | ||
| 2 | 1.200,00 | ||
| 3 | 1.200,00 | ||
| 4 | 1.200,00 | ||
| Total valor final | 4.800,00 |
4. ¿Por qué la aportación del año 4 no genera intereses?
✅ Ver solución
| Año | Cobro (€) | Operación | Valor en el momento 0 (€) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.500,00 | 1.500 / 1,04^1 | 1.442,31 |
| 2 | 1.500,00 | 1.500 / 1,04^2 | 1.386,83 |
| 3 | 1.500,00 | 1.500 / 1,04^3 | 1.333,49 |
| Total valor actual | 4.500,00 | Suma | 4.162,64 |
- Ver tabla.
- Porque cada cobro futuro vale menos hoy: se le quitan los intereses de los años que faltan.
- Ver tabla.
- Porque se hace justo en el momento final: no pasa tiempo para generar intereses.
| Año de la aportación | Aportación (€) | Operación | Valor en el año 4 (€) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.200,00 | 1.200 · 1,03^3 | 1.311,27 |
| 2 | 1.200,00 | 1.200 · 1,03^2 | 1.273,08 |
| 3 | 1.200,00 | 1.200 · 1,03^1 | 1.236,00 |
| 4 | 1.200,00 | 1.200 · 1,03^0 | 1.200,00 |
| Total valor final | 4.800,00 | Suma | 5.020,35 |
📍 Situación: Empiezas a trabajar a los 22 años y decides ahorrar 100 € al mes en un producto que da un 3 % anual.
Tu tarea:
- Calcula el valor final de tus aportaciones a los 32, 42 y 67 años (puedes usar aportaciones anuales de 1.200 €).
- Representa la evolución en un gráfico y distingue lo aportado de los intereses.
- Escribe un consejo para un joven que cree que ahorrar poco no sirve de nada.
📦 Entrega: Hoja de cálculo con gráfico y consejo.
Esta actividad no tiene solución publicada: es tu trabajo personal y se evalúa con la rúbrica de la situación de aprendizaje.
📎 Recursos: Ficha 4-1
🎯 Recuerda el reto de la SA 4: Infografía digital (Canva, Genially o similar) por equipos de tres con tres productos de ahorro para la jubilación, sus ventajas e inconvenientes y la simulación del capital final de 1.200 € anuales durante 30 años; exposición de cinco minutos. Ver la situación de aprendizaje completa.
