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🗺️ En esta sesión: En las operaciones a largo plazo los intereses también generan intereses: es la capitalización compuesta. Aprenderás su fórmula y a usar la tecla de potencia de la calculadora. Con una hoja de cálculo verás cómo 10.000 € crecen mucho más deprisa con interés compuesto que con interés simple.
En la capitalización compuesta los intereses de cada periodo se suman al capital y generan nuevos intereses (intereses de los intereses). El capital crece de forma exponencial. Se usa en operaciones de más de un año.
📌 Fórmulas
Capital final: Cn = C0 · (1 + i)^n
Descuento: C0 = Cn / (1 + i)^n
Hoja de cálculo: =VF(i;n;0;-C0) y =VA(i;n;0;-Cn).
Ejemplo resuelto
3.000 € al 4 % compuesto durante 5 años: Cn = 3.000 · 1,04^5 = 3.000 · 1,216653 = 3.649,96 €. En simple serían 3.600,00 €.
Para tener 8.000 € dentro de 4 años al 3 %: C0 = 8.000 / 1,03^4 = 7.107,90 €.
| Años | Simple, 10.000 € al 6 % | Compuesta, 10.000 € al 6 % |
|---|---|---|
| 1 | 10.600,00 | 10.600,00 |
| 5 | 13.000,00 | 13.382,26 |
| 10 | 16.000,00 | 17.908,48 |
| 20 | 22.000,00 | 32.071,35 |
| 30 | 28.000,00 | 57.434,91 |
📌 Calculadora
1,04^5 se escribe 1,04 [x^y] 5 =. Para 1 / 1,04^5, calcula primero la potencia y después 1 / Ans.
📌 Errores frecuentes
Multiplicar i · n dentro del paréntesis en una operación compuesta.
Elevar solo el 1 o solo el i, en lugar de todo el paréntesis (1 + i).
🎯 Objetivo: Aplicar la ley compuesta y compararla con la simple.
📌 Fórmulas
Capitalizar: Cn = C0 · (1 + i)^n
Descontar: C0 = Cn / (1 + i)^n
En la calculadora: 1,04 ^ 5 se escribe con la tecla x^y o ^.
1. Raúl invierte 3.000 € al 4 % anual compuesto durante 5 años. ¿Qué capital obtiene? ¿Cuánto habría obtenido en simple?
2. Sofía quiere tener 8.000 € dentro de 4 años y encuentra un producto al 3 % compuesto. ¿Cuánto debe invertir hoy?
3. Completa en la hoja de cálculo la tabla de 10.000 € al 6 % y dibuja las dos líneas en un mismo gráfico.
| Años | Simple (€) | Compuesta (€) | Diferencia (€) |
|---|---|---|---|
| 0 | |||
| 1 | |||
| 5 | |||
| 10 | |||
| 20 | |||
| 30 |
4. ¿Por qué la diferencia crece cada vez más rápido?
✅ Ver solución
- Compuesta: 3.000 · 1,04^5 = 3.649,96 €. Simple: 3.000 · (1 + 0,04 · 5) = 3.600,00 €. Diferencia: 49,96 €.
- C0 = 8.000 / 1,03^4 = 7.107,90 €.
- Ver tabla.
- Porque en la compuesta los intereses de cada año se suman al capital y generan nuevos intereses (intereses de los intereses).
| Años | Simple (€) | Compuesta (€) | Diferencia (€) |
|---|---|---|---|
| 0 | 10.000,00 | 10.000,00 | 0,00 |
| 1 | 10.600,00 | 10.600,00 | 0,00 |
| 5 | 13.000,00 | 13.382,26 | 382,26 |
| 10 | 16.000,00 | 17.908,48 | 1.908,48 |
| 20 | 22.000,00 | 32.071,35 | 10.071,35 |
| 30 | 28.000,00 | 57.434,91 | 29.434,91 |
📍 Situación: Dos amigas ahorran: Laura invierte 3.000 € a los 20 años y no vuelve a aportar; Elena invierte 6.000 € a los 40. Ambas obtienen un 5 % compuesto hasta los 65.
Tu tarea:
- Calcula en una hoja de cálculo el capital de cada una a los 65 años.
- Representa ambas evoluciones en un gráfico.
- Redacta un mensaje para tus compañeros explicando qué aprendes del caso.
📦 Entrega: Hoja de cálculo, gráfico y mensaje.
Esta actividad no tiene solución publicada: es tu trabajo personal y se evalúa con la rúbrica de la situación de aprendizaje.
📎 Recursos: Temario U1 (1.5), ficha 3-3, hoja de cálculo
🎯 Recuerda el reto de la SA 3: Tabla comparativa de cinco países (Alemania, España, Francia, Italia y Rumanía) con datos de octubre de 2026: rentabilidad del bono a diez años, la prima de riesgo y el capital final de invertir 10.000 €, e informe que explique por qué unos países pagan más que otros y qué sucesos recientes han movido esas rentabilidades. Ver la situación de aprendizaje completa.
